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六次の隔たり 

六次の隔たり」という理論がある。
Small World Theory ともいうらしい?
少し前の新聞記事の中で目にしてから、ちょっと気になってた。
Wikipediaで調べてみると

六次の隔たり(ろくじのへだたり、Six Degrees of Separation)とは、
人は自分の知り合いを6人以上介すと世界中の人々と間接的な知り合いになれる、という仮説である


とのこと。要するに、

オバマ大統領は私の知人の知人の知人の知人の知人の知人であり、
金正日総書記はあなたの友人の友人の友人の友人の友人の友人である、ということだ。

直感的には、6人たどったくらいでオバマならまだしも金正日に辿り着けるのだろうかという気がする。

このトピックについては、Wikipediaでは「仮説」という言葉を使っている。
軽くググったけど、まだ証明されていないという記述も見つけた。
そして、証明らしき解説をしているページも見あたらなかった。
アメリカの研究者が実際に手紙を回して実験したという話がやたら目立つばかり。


直感に反するとはいえ、そんなに複雑怪奇な理論というわけではない。
ちょっと具体的な計算を考えてみた。


-----


まず、定理として述べるにはWikipediaの言い回しではデータが足りない。
計算例の中では言及されているけど、

(a)A,B,C,D,E,Fの6人が、互いに重複しない知り合いをそれぞれ44人以上持つ

という仮定が必要である。また、大前提として

(b)世界の総人口が70億人以下である

という条件も当然必要。これらことを前提にすれば、

Aさんの6次以内の間接的な知り合いは44^6=7,256,313,856人

となり、総人口を超えるので、その間接的な知り合いの輪の中に
バラク・オバマも金正日も含まれているはずだ、という論法である。と思う。

じゃあこの44人という数字はどこから出てきたのか。
43人じゃダメなのか。20人じゃダメなのか。Wikipediaにはもう一つの例として、

「重複しない知り合いの数」が23人であるとすると、236=148,035,889人となり、
日本の総人口127,055,025人を上回る


ということも書いてある。まぁ簡単なことなので一般化してみると、


 ある程度人数の多い集団において
   (a')互いに重複しない知り合いの数がx人以上 (x > 1)
   (b')全体の人数がy人
 であるとき、
   x^n ≧ y
 を満たす最小のnに対して、その集団には「n次の隔たり」があるという。


ってことだよね。つまり、今の人類には何次の隔たりがあるかを求めたければ、上記(a),(b)より

 44^n ≧ 70億
∴ log_{44}(44^n) ≧ log_{44}(70億)
∴ n*log_{44}(44) ≧ log_{44}(70億)
∴ n ≧ log_{44}(70億) ≒ 5.9905
∴ n = 6

めでたく、今の人類には(重複しない互いに知り合いが44人以上であれば)
6次の隔たりがあることが分かりました。
逆に、6次の隔たりを保証するためには…

 x^6 ≧ 70億
∴ x ≧ 70億^(1/6) ≒ 43.73707

ということで、44人(以上)の重複しない知り合いが必要な訳です。
更に、これから総人口が大インフレを起こしたとしても

 x ≧ 100億^(1/6) ≒ 46.41589
 x ≧ 1000億^(1/6) ≒ 68.12921

という計算結果から、100億人なら47人、
1000億人なら68人の知り合いがいれば6次の隔たりは保たれます





ここで本題ですが、何故現実世界での隔たりは6次であるとされているのか。
試しに4,5,7,8次の隔たりに必要な知り合いの人数を計算してみると、以下のようになります。

 x ≧ 70億^(1/4) ≒ 289.25076
 x ≧ 70億^(1/5) ≒ 93.114992
 x ≧ 70億^(1/6) ≒ 43.737069
 x ≧ 70億^(1/7) ≒ 25.494270

つまり、各隔たりに必要な知り合いの人数は

 4次の隔たり → 290人
 5次の隔たり → 94人
 6次の隔たり → 44人
 7次の隔たり → 26人

であることがわかります。

「知り合い」を290人挙げるのは、一般人にはなかなか難しいのではないでしょうか。
「知り合い」を148人挙げるのは、重複がないようにするのは難しいのかも知れません。
「知り合い」を44人挙げるのは、重複がないようにしても、なんだかできそうな気がします。
自分の友人である戦場ヶ原君に、彼が知らないであろう他の友人を44人紹介できれば良いのです。

…というような考えから、現代の地球人類においては6次の隔たりが妥当である!
という結論なんじゃないでしょうか。
「そんなに友達いねーよ!44人とか無理だよ!」という人は、
7次の隔たり理論を提唱すれば良いと思います。それなら26人で十分です。


因みに、nを大きくしていくとxは1に近付いていくわけですが、その早さはこんなモンです↓

 x ≧ 70億^(1/8) ≒ 17.007374
 x ≧ 70億^(1/9) ≒ 12.413658
 x ≧ 70億^(1/10) ≒ 9.649611
 x ≧ 70億^(1/15) ≒ 4.532521
 x ≧ 70億^(1/20) ≒ 3.106382
 x ≧ 70億^(1/30) ≒ 2.128972
 x ≧ 70億^(1/50) ≒ 1.573628
 x ≧ 70億^(1/100) ≒ 1.25444

重複しない知り合いが1人以上居なくては話が始まらないので、
xが1に収束するのは納得です。x=1の時隔たりの次数は定義されていません。

では、知り合いが二人だった場合は何次の隔たりになるのか。
上記のことから、30人以上50人以下だということは分かるが、計算してみると…

 2^n ≧ 70億
∴ log_{2}(2^n) ≧ log_{2}(70億)
∴ n*log_{2}(2) ≧ log_{2}(70億)
∴ n ≧ log_{2}(70億) ≒ 32.704708
∴ n = 33

つまり!
知り合いが2人ずつだとしても、33人辿ればオバマに会える訳です。
It's a Small World!!

・・・って、そんな訳ないよね。

知り合いが重複しないように2人ずつだとすると、
最低でも4人で閉じたグループを作ることができてしまいます。
70億人が、17.5億個の連結していない4人ずつのグループに分かれていた場合、
オバマどころか町内の人とも繋がることはできない。

ここまで考えて気付いたけど、(a'),(b')に加えて

 (C)知り合い関係で結ばれた各グループが、6次まで拡大した時に
   70億人すべて連結したひとつのグループになっている。

というような条件も必要ですね。実際、これが成り立っていることを数学的に証明することは
不可能だと思うけど、70億人を任意の重複しない知り合い関係で結んだ時に、全体が一つのグループとして
連結する確率は相当に高そう(直感)だから、多分大丈夫でしょ。





そんな感じで、他にも議論が雑になってる点はありそうだけど、考え飽きてきたからまぁいいや。
意外に複雑な理論でした。

結局、所々に曖昧な仮定を残しているので、「定理」というには不十分であり、
「仮説」という言葉が使われているんでしょうね。

これをきちんとした定理にまとめようと思ったら、結構な論文になりそうだw





ちなみに新聞記事では会社の取引関係にも適用できるとあった。
会社関係の場合には、世界に70億社もないだろうけど、44人という取引関係(の平均値)が
かなり小さくなると予想。結果として差し引きゼロで、n=6が保たれているんじゃなかろうか。


全体の人数に対して、nの最大値はどうやって決まるのかということも、ふと気になった。


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なんか色々ボロボロだなw
議論が雑過ぎて看過してることが多すぎる。。まぁいいや。
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